数学の比例反比例に関する問題で、2つの関数y=axとy=b/xが交わる点を求める問題について解説します。この問題では、交点でのy座標が正となる点をPとし、Pを通りy軸に平行に引いた直線がx軸と交わる点をQとした場合に、aの値がとる範囲を求めることが求められています。図がない状態でも解くためのステップを順を追って説明します。
問題の整理：与えられた関数
与えられた関数は次の2つです。
- y = ax (①)
- y = b/x (②)（ただし、b＜0）
これらの関数は2点で交わるという条件があります。交点のうち、y座標が正の点をPとし、Pを通りy軸に平行に引いた直線がx軸と交わる点をQとしたとき、aの範囲を求めるのが今回の問題です。
交点を求めるための式の導出
まず、2つの関数が交わる点を求めるためには、yの値が同じである点を探します。つまり、①と②の式を連立して解く必要があります。
y = ax と y = b/x の交点では、次のように式が成り立ちます。
ax = b/x
両辺をxで掛け算すると、
a * x^2 = b
ここから、x^2 = b/a となります。
これが、交点のx座標を求めるための式です。
y座標が正となる条件
交点Pにおいて、y座標が正であるためには、xが正の値を持つ必要があります。したがって、x = √(b/a) が正であるためには、b/aが負である必要があります。
つまり、b＜0であるという条件から、aが正の値であることが求められます。
直線PQの傾きからaの範囲を求める
Pを通りy軸に平行に引いた直線PQがx軸と交わる点をQとしたとき、aの範囲を求めるためには、直線PQの傾きを考える必要があります。
直線PQは、x軸に平行な直線なので、y座標は一定です。したがって、直線PQの傾きは、x座標が増加するにつれてy座標が増加しないことを示しています。これにより、aがある範囲内であることが導かれます。
まとめ：aの範囲の求め方
今回の問題では、1次関数y=axと反比例関数y=b/xが交わる点を求めるために、交点のx座標を求める式からスタートしました。その後、y座標が正となるための条件を考慮し、最終的にaの範囲を導くことができました。
問題のポイントは、与えられた関数の交点を求めるために連立方程式を立て、その交点においてy座標が正であるための条件を適用することです。この手順を踏むことで、aがとる範囲を正確に求めることができました。
コメント