微分方程式 (1+x^2)y'' + 1 + y'^2 = 0 の解法

微分方程式 (1+x^2)y” + 1 + y’^2 = 0 を解く方法について解説します。この方程式は、非線形の2階微分方程式であり、解法にはいくつかのアプローチがあります。本記事では、この問題を順を追って解く方法を説明します。

問題の整理

与えられた微分方程式は次のように書かれています。

(1 + x^2)y” + 1 + (y’)^2 = 0

ここで、y’はyの1階導関数、y”はyの2階導関数です。この方程式は、yの2階導関数と1階導関数が絡み合っているため、解くためには適切な方法が必要です。

まず、y’をvと置き換えます。すなわち、v = y’ とすると、y” = dv/dx となります。これにより、元の微分方程式は次のように変形できます。

(1 + x^2) dv/dx + 1 + v^2 = 0

この方程式は、vに関する1階の微分方程式となり、解きやすくなります。

次に、変数分離法を試みます。まず、dv/dx の項を整理して、変数をxとvに分けます。

dv/dx = -(1 + v^2)/(1 + x^2)

これを変数分離法に従って、次のように整理します。

(1 + x^2) dx = -(1 + v^2) dv

これにより、xとvをそれぞれ積分できる形に分けることができます。

両辺を積分することで、xとvに関する関係式を得ることができます。積分すると、次のような形になります。

∫(1 + x^2) dx = -∫(1 + v^2) dv

これを積分し、定数を加えることで、最終的な解を得ることができます。積分の結果として、xとv（y’）の関係が得られ、そこからyを求めるためにさらに積分を行います。

微分方程式 (1+x^2)y” + 1 + y’^2 = 0 の解法は、1階導関数をvと置き換え、変数分離法を使って解くことができます。積分を進めることで、最終的な解を求めることができます。このような非線形微分方程式は、適切な置き換えと変数分離法を使うことで解くことが可能です。

この方法を使うことで、微分方程式の解法を理解し、さらに複雑な問題にも応用できるようになります。