n次元ユークリッド空間における最密充填率とその極限について

今回は、n次元ユークリッド空間における合同な球による充填について考えます。特に、最密充填率がn→+∞で1になる可能性があるのかどうかについて解説します。

最密充填とは

最密充填とは、与えられた空間において、可能な限り多くの球を重ならないように配置する方法を指します。n次元ユークリッド空間においても、同様に球を配置することで最密充填を求めることができます。最密充填の効率が良いほど、空間を無駄なく使っていると言えます。

n次元ユークリッド空間における最密充填率は、n次元における球の配置に依存します。2次元や3次元では、最密充填率はそれぞれ約0.9069（円）や0.7404（球）ですが、n次元での充填率はnが大きくなるにつれてどうなるのでしょうか？

n次元空間における充填率がn→+∞で1になる可能性について考えると、実際には、n次元での充填率は1に近づくことはなく、次第に0に収束していきます。これは、高次元になるにつれて、球の体積が急激に小さくなり、空間を占める割合が小さくなるためです。

n次元ユークリッド空間における最密充填率は、nが無限大に近づくにつれて1にはならず、むしろ0に収束します。この結果は、次元が高くなるほど、空間を効率的に使うことが難しくなるという性質に起因しています。