シンプレックス法と二段階法を用いた線形計画問題の解法

本記事では、シンプレックス法および二段階法を用いた線形計画問題の解き方を解説します。具体的な問題例をもとに、これらの手法を適用して解いていきますので、理解を深めるためにぜひご参考にしてください。

① シンプレックス法で解く最初の問題

まず、シンプレックス法を使った最初の問題を見ていきます。与えられた線形計画問題は以下の通りです。

minimize z = -4x_1
subject to:
x_1 + x_2 + x_3 = 2
x_1 + 3x_2 + x_4 = 3
x_1, x_2, x_3, x_4 >= 0

ここで、初期の基底変数はx_3とx_4とします。シンプレックス法においては、相対コスト係数が最小のものを選んでピボット演算を行います。これを繰り返し行い、最終的にすべてのc_jが正になるまで計算を進めます。

次に、二段階法を用いた問題を見ていきます。この方法は、人工変数を使って制約条件が満たされない問題を解く手法です。与えられた問題は以下の通りです。

minimize z = -2x_1 - x_2 - x_3
subject to:
x_1 + 2x_2 = 12
x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 20
x_1, x_2, x_3 >= 0

この問題では、まず人工問題を作成し、その後にシンプレックス法を用いて解きます。

シンプレックス法は、与えられた制約条件を満たす最適解を求める手法です。これに対し、二段階法は人工変数を導入して、制約条件を満たさない場合に適用されます。二段階法では、最初に人工問題を解いてから元の問題を解く手順が必要です。

シンプレックス法と二段階法は、線形計画問題を効率的に解くための強力なツールです。それぞれの方法を適切に使い分けることが重要です。特に、二段階法では人工変数の導入が必要な場合があることを覚えておきましょう。

シンプレックス法と二段階法は、いずれも線形計画問題を解くために用いられる有力な手法です。これらを理解し、実際の問題に適用することで、より効率的に最適解を求めることができます。