数学問題：2 cos 2θ + 2 cos θ + a = 0 の解法とaの範囲の求め方

この問題では、定数分離をせずに、与えられた方程式が解日を4つ持つためのaの取り得る範囲を求める方法を考えます。まず、方程式 2 cos 2θ + 2 cos θ + a = 0 を整理し、解法に必要なステップを確認しましょう。

1. 方程式の整理

与えられた方程式は 2 cos 2θ + 2 cos θ + a = 0 です。まず、cos 2θ を cos θ の式で表すために、二重角の公式を使用します。

cos 2θ = 2(cos θ)² - 1

これを元の方程式に代入すると、方程式は次のように変形できます。

2(2cos²θ - 1) + 2 cos θ + a = 0

この式を展開して整理します。

4 cos²θ - 2 + 2 cos θ + a = 0

これが整理後の方程式です。次に、この式が解日を4つ持つ条件を求めます。

解が4つになるためには、この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ必要があります。まず、判別式を使って解の個数を調べます。2次方程式 ax² + bx + c = 0 の判別式 Δ は次のように求められます。

Δ = b² - 4ac

ここで、a = 4, b = 2, c = -2 + a ですので、判別式 Δ を計算します。

Δ = 2² - 4(4)(-2 + a)

Δ = 4 + 32 - 16a

Δ = 36 - 16a

Δ ≥ 0 となるためには、36 – 16a ≥ 0 となる必要があります。この不等式を解くと、a ≤ 2.25 となります。

解が4つ存在するためには、a の範囲がさらに絞られます。a = 2.25 のとき、解はちょうど2つであり、a < 2.25 のときに解が4つ存在することが分かります。

結論として、方程式 2 cos 2θ + 2 cos θ + a = 0 が解日を4つ持つためには、a の範囲は次のようになります。

a < 2.25

したがって、a が2.25より小さい場合に、この方程式が解日を4つ持つことがわかります。