lim[n→∞]n²∑[k=n~2n-1]{1/(2k)² – 1/(2k+1)²} の計算方法について

この問題は、高校数学の範囲内で解ける計算問題です。具体的には、無限級数の合計を求める問題で、基礎的な数学のテクニックを使って解くことができます。この記事では、この問題をどのようにアプローチし、解法に至るのかを詳しく説明します。

1. 問題の理解と式の整理

まず、この問題を理解するために式を整理しましょう。与えられた式は、lim[n→∞]n²∑[k=n~2n-1]{1/(2k)² – 1/(2k+1)²} です。ここでの目的は、無限大に近づけたときの式の収束値を求めることです。まず、級数の各項を見てみましょう。

2. 1/(2k)² – 1/(2k+1)² の展開

1/(2k)² – 1/(2k+1)² の部分を展開すると、式が簡単化できます。まず分母を通分し、以下のように計算します。

1/(2k)² - 1/(2k+1)² = (2k+1)² - (2k)² / (2k(2k+1))²

これにより、計算がやりやすくなり、次のステップへ進むことができます。

3. 合計の計算とn→∞への収束

次に、この合計が無限大に近づいたときにどうなるかを考えます。n→∞ の時、n²が大きくなり、項の収束に影響を与えるので、各項がどのように振る舞うかを検討します。

4. 結果と確認

最終的に、この問題の解法は高校の数学の範囲内で十分に計算可能です。式の整理と級数の収束を考慮することで、解答を導き出すことができます。実際に手を動かして計算してみましょう。

まとめ

この問題は、式の整理と級数の収束に関する基本的な理解が必要ですが、特別な知識を要することはありません。高校の範囲内で解ける問題であるため、積極的に挑戦してみましょう。