整数問題の解法: 2n+1が7で割り切れるnの求め方と証明

この問題は、整数nに関連する割り算と不等式の問題です。まず、(a) 2n + 1 が 7 で割り切れるような正の整数nを求め、その後、(b) 2n + 1 が 7 で割り切れるような正の整数nは存在しないことを証明する問題を解いていきます。

問題 (a): 2n + 1 が 7 で割り切れるようなnの求め方

まず、2n + 1 が7で割り切れるということは、次のように式で表すことができます。

2n + 1 ≡ 0 (mod 7)

この式を解くために、まず1を右辺に移動します。

2n ≡ -1 (mod 7)

-1は7の剰余で6と等しいので、式は次のようになります。

2n ≡ 6 (mod 7)

次に、2の逆元を7で求めます。2の逆元は7の範囲で3です。よって、両辺に3を掛けることでnを求めます。

n ≡ 6 × 3 (mod 7)

計算すると、n ≡ 18 (mod 7)

18を7で割ると、余りは4なので、n ≡ 4 (mod 7) となります。これより、nは7の倍数に4を加えた整数、つまり、n = 7k + 4 (kは整数) であることがわかります。

次に、2n + 1 が7で割り切れるような正の整数nは存在しないことを証明します。

ここでは、2n + 1 が7で割り切れると仮定します。つまり、次の式が成り立つと仮定します。

2n + 1 ≡ 0 (mod 7)

すると、2n ≡ -1 (mod 7) となりますが、-1は7の剰余で6と等しいため、式は次のように変形できます。

2n ≡ 6 (mod 7)

しかし、2nが7で割り切れる余りが6であることは矛盾しています。なぜなら、2の倍数が7で割り切れる余りは0, 2, 4, または6ですが、6を含む余りが存在しないため、この場合は矛盾が生じます。

問題(a)では、2n + 1が7で割り切れるnはn = 7k + 4の形になると求められました。問題(b)では、2n + 1が7で割り切れるようなnは存在しないことを証明しました。このように、割り算に関連する整数の問題を解く際には、式の変形や逆元を使用することが非常に重要です。