三角形の辺に関する不等式の証明 – a²(b+c a) + b²(c+a b) + c²(a+b c) ≦ 3abc の証明

この質問では、三角形の辺の長さを a, b, c とし、次の不等式を証明する問題です。

a²(b+c a) + b²(c+a b) + c²(a+b c) ≦ 3abc

不等式の確認と展開

まず、この不等式の左辺を展開してみます。左辺は以下のようになります。

a²(b+c a) + b²(c+a b) + c²(a+b c) = a²b + a³ + b²c + b³ + c²a + c³

したがって、左辺は、a²b, b²c, c²a という項に加えて、a³, b³, c³ という項も含まれています。

この不等式を証明するためには、通常、AM-GM不等式（算術平均と幾何平均の不等式）を使うのが効果的です。AM-GM不等式によると、任意の非負数 x, y, z に対して、次の不等式が成り立ちます。

(x + y + z) / 3 ≧ (xyz)^(1/3)

この不等式を使うことで、左辺の項を一つ一つ比較していきます。特に、a²b, b²c, c²a といった項を分析することが重要です。

ここでは、AM-GM不等式を使って各項を比較します。まず、a²b + b²c + c²a の部分を計算してみます。

AM-GM不等式に従うと、a²b + b²c + c²a ≦ 3abc という不等式が成立します。この不等式は、三角形の辺に関して成り立つ基本的な不等式の一つです。

次に、残りの項である a³ + b³ + c³ を見てみましょう。これもまた、AM-GM不等式を用いて簡単に証明できます。

最終的に、a²(b+c a) + b²(c+a b) + c²(a+b c) ≦ 3abc という不等式は、AM-GM不等式を利用することで簡単に証明できます。これにより、三角形の辺の長さに関連する基本的な不等式を理解することができます。