高校数学の対偶を使った証明の方法 – a^2 + b^2 ≧ 6 の証明

今回は、数学の証明問題について解説します。問題は「a^2 + b^2 ≧ 6 ならば |a + b| > 1 または |a – b| > 3 である」という命題についてです。特に、対偶を使って証明する方法をわかりやすく解説します。

① 証明問題の確認

与えられた命題は、「a^2 + b^2 ≧ 6 ならば |a + b| > 1 または |a – b| > 3」というものです。まず、この問題を解くためには、対偶を使って証明を進めます。

② 対偶の概念

対偶とは、「もしAならばB」という命題があるとき、その対偶は「もしBでないならばAでない」という命題です。この命題を対偶を使って証明するためには、まず「a^2 + b^2 < 6」の場合を考え、その場合に |a + b| ≤ 1 かつ |a - b| ≤ 3 であることを示すことが重要です。

③ 対偶を使った証明の流れ

次に、実際に対偶を使って証明を行います。まず、仮定「a^2 + b^2 < 6」を置き、このときに「|a + b| ≤ 1 および |a - b| ≤ 3」の成立を示します。このとき、aとbの値をいくつか具体的に計算していきます。

④ 計算と結論

具体的な計算を行うことで、仮定のもとで |a + b| ≤ 1 および |a – b| ≤ 3 が成立することがわかります。これにより、元の命題「a^2 + b^2 ≧ 6 ならば |a + b| > 1 または |a – b| > 3」の対偶が正しいことが証明されます。

まとめ

対偶を使った証明の方法は、問題の反対の状況を検討することで、元の命題を証明する有効な手段です。今回の問題では、「a^2 + b^2 < 6」であるならば、 |a + b| ≤ 1 かつ |a - b| ≤ 3 となることを示すことで、対偶を通して命題が証明されました。