この問題では、複素数zが与えられた方程式を満たすとき、|z|の最小値を求める方法について解説します。特に、複素数の絶対値に関連した問題で、円上の点と原点との距離を考慮する必要があります。
問題の整理
問題は、複素数zが等式 |2iz + 6| = |z – 3| を満たすときに、|z|の最小値を求めるというものです。ここでzは複素数であり、|z|はその絶対値（原点からの距離）です。
まず、問題で与えられた等式 |2iz + 6| = |z – 3| について、複素数zの位置を複素平面上で視覚化することが重要です。zの絶対値は、原点からの距離を意味します。この距離を最小化する方法を考えます。
複素数の絶対値と幾何学的解釈
複素数の絶対値は、複素平面上でその点が原点からどれだけ離れているかを示します。したがって、|z|の最小値を求めるということは、与えられた条件を満たす複素数zが原点に最も近い点を求めることを意味します。
等式 |2iz + 6| = |z – 3| は、実は円の方程式に関連しています。zは、複素平面上で特定の円上の点であり、この円の最小の半径が求めるべき|z|の最小値となります。
円の方程式と|z|の最小値
|2iz + 6| = |z – 3| の等式は、実際には複素数の幾何学的な関係を示しており、円の方程式に関連しています。この方程式を解くことで、zが円上の点であることがわかります。そして、原点に最も近い点が求めるべき最小値を与えることになります。
円の方程式の詳細な計算により、最小の|z|の値を求めることができます。円上の点と原点との距離が最小となるのは、円の中心から原点に向かって最短の点です。
最小値を求める方法
最小値を求めるためには、まず与えられた複素数の方程式を円の方程式に変換し、円の中心と半径を求めます。その後、原点からその円の中心までの距離を計算し、最小値を求めます。
具体的な計算手順を踏むことで、最小の|z|が求められます。この方法を適切に適用することが重要です。
まとめ
複素数zが満たすべき条件に基づき、|z|の最小値を求める問題では、円の方程式を理解し、原点との最短距離を求めることが重要です。円上の点と原点との距離を最小化する方法を理解することで、複素数に関連する問題を解くことができます。
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