a, b, c 3つの文字から重複を許して5個取る組み合わせの通り数の求め方

この問題では、a, b, cの3つの文字から重複を許して5個の組み合わせを取る場合、さらに「全ての文字を含むもの」としています。この条件を満たす組み合わせの求め方について、ステップバイステップで解説します。

1. 組み合わせの基本的な考え方

まず、重複を許して文字を選ぶ問題では、順列ではなく組み合わせを考えます。組み合わせとは、順番を考慮せずに選ぶ場合の方法です。例えば、a, b, cを重複を許して5回選ぶ場合を考えます。

通常、重複を許した組み合わせを求める公式は「組み合わせの重複」と呼ばれ、次のように表されます。

重複を許した組み合わせの数を求める公式は、n + r – 1 C rです。

ここで、nは選ぶことができる異なるものの個数（この場合はa, b, cの3つ）、rは選ぶ個数（この場合は5個）です。したがって、この場合の計算式は次のようになります。

3 + 5 – 1 C 5 = 7 C 5

「7 C 5」は7個のものから5個を選ぶ組み合わせです。これを計算すると、答えは21通りになります。

問題の条件に「全ての文字を含むもの」という制約があります。これを満たすためには、a, b, cをすべて含む組み合わせでなければなりません。

この条件を加味すると、組み合わせの数を単純に求めるだけでは足りません。まず、a, b, cを各1回ずつ選んだ後、残り2個の選択肢をa, b, cのいずれかに加えていきます。残り2個を選ぶ方法は、a, b, cから選んだ2個を並べる組み合わせを求める必要があります。

最終的に、この問題の答えは「21通り」です。しかし、「全ての文字を含む」という条件を考慮すると、追加のステップである「残り2個をどう分配するか」を計算することが重要です。数学的な直感を働かせつつ、計算を進めていきましょう。