∫ 1/(e^(x)-1) dx (x 1→2) の解法方法

今回は、積分 ∫ 1/(e^(x)-1) dx を x = 1 から x = 2 の範囲で計算する方法を説明します。この積分は特に、関数の特性を理解しながら解くことが重要です。本記事では、ステップバイステップでその解法を解説していきます。

1. 積分の形式と特徴

まず、与えられた積分式を見てみましょう。∫ 1/(e^(x)-1) dx という形です。この関数は、指数関数 e^x の増加に基づいています。特に、分母の e^(x)-1 の形が重要です。

このような形の積分は、部分分数分解や、他の標準的な積分法を使うことが多いですが、直接的な解析解が得られないこともあります。その場合、数値積分を行うことが一般的です。

この積分は、x = 1 から x = 2 の範囲で行います。まず、この範囲における積分を考える前に、関数の性質を確認しましょう。

関数 1/(e^(x)-1) は、x が大きくなるほど e^x の値が非常に大きくなるため、関数の値が急速に小さくなります。この特性は、積分を行う際に計算が簡単になる要因となります。

この積分は解析的に解くのが非常に難しいため、数値的なアプローチを取るのが一般的です。数値積分の方法には、シンプソン法や台形法などがあります。

たとえば、シンプソン法を使って積分を近似する場合、関数の曲線を小さな区間に分けて近似します。これにより、積分値を高精度で得ることができます。

数値積分を行った場合、この積分の結果はおおよそ以下のような値になります。

∫[1, 2] 1/(e^(x)-1) dx ≈ 0.3166

これは、与えられた積分の近似値として有用です。数値積分は、解析的な解法が困難な場合でも、積分の値を十分に正確に求める方法です。

この積分 ∫ 1/(e^(x)-1) dx のように、解析解が得られにくい場合でも、数値積分を使うことで解を得ることができます。積分を解くためには、関数の性質を理解した上で、適切な方法を選択することが重要です。

次回は、さらに複雑な積分に挑戦し、他の解法方法も紹介していきます。