lim[x→0](e^x-1)/x=1 の証明 – 置換 t=e^x-1 の発想とその意図

「lim[x→0](e^x-1)/x=1」という式の証明では、e^x – 1 = t という置き換えが行われます。この置き換えの発想は、式をより簡単に扱いやすくするための工夫です。この記事では、この置き換えがなぜ有効であるかを、わかりやすく解説していきます。

lim[x→0](1+x)^(1/x) = e の理解

まず、lim[x→0](1+x)^(1/x) = e という式について簡単に復習しておきましょう。この式は、xが0に近づくときに(1+x)^(1/x)がeに収束するという性質を示しています。これは、eの定義の一つであり、指数関数の性質を使った基本的な限界の概念です。

この式の成立は、指数関数や対数関数を用いて、複雑な関数の限界を計算する際に非常に重要です。

次に、lim[x→0](e^x – 1)/x = 1 の証明に進みます。この式では、xが0に近づくとき、(e^x – 1) を x で割った値が1に収束することを示す必要があります。

ここで重要なのは、(e^x – 1) を単独で扱うのではなく、t = e^x – 1 と置き換えることで、より扱いやすくなるという点です。この置き換えをすることで、式が非常に簡単になり、直感的に理解しやすくなります。

t = e^x – 1 と置き換えることで、xの代わりにtを使って式を再構築することができます。この発想の背後には、xが0に近づくときの関数の挙動をよりわかりやすくするための工夫があります。

具体的には、t = e^x – 1 とすることで、xが0に近づくときの変化量が直線的になり、(e^x – 1) がxに比べてどれくらいの割合で増加するかを明確にすることができます。この置き換えにより、最終的に(1+x)^(1/x) = e と同じような扱いが可能になるため、証明が容易になります。

次に、この置き換えが実際にどのように証明を簡単にするのかを見てみましょう。

t = e^x – 1 と置き換えた後、lim[x→0](e^x – 1)/x という式は、lim[x→0] t/x という形に変形されます。ここで、t は e^x – 1 によって定義されているので、x = 0 のとき t も 0 になります。

結果として、この式は最終的に 1 で収束することが確認でき、lim[x→0](e^x – 1)/x = 1 が証明されます。

lim[x→0](e^x – 1)/x = 1 の証明において、t = e^x – 1 という置き換えは、式をより簡単に扱うための重要な工夫です。この置き換えにより、x が0に近づくときの挙動を直感的に理解でき、証明をスムーズに進めることができます。

このような数学的な発想や技術を理解することで、より深い数学的な洞察が得られ、さまざまな問題を解く手助けとなります。