複素積分による積分計算：∫[−∞→∞](cos(ax)−cos(bx))/x²dxの解法

複素積分を使った積分計算は、理論的に非常に有用な方法です。特に、∞の範囲での積分や特異点が含まれる場合に、複素積分は効率的な手法となります。この記事では、質問者が述べた「∫[−∞→∞](cos(ax)−cos(bx))/x²dx」について、どのように複素積分を用いて解くかを詳細に解説します。

問題の設定と式の確認

与えられた積分式は、次のような形です。

∫[−∞→∞] (cos(ax) − cos(bx)) / x² dx

ここで、aとbは定数であり、積分範囲は−∞から∞までです。まず、このような積分の解法では、積分における特異点（x=0）や、無限大における収束性に注意を払う必要があります。

複素積分を用いる場合、積分を複素平面上での経路積分に変換します。特に、この積分のように特異点が存在する場合には、Cauchyの積分定理やResidue定理を使用します。

まず、積分の特異点を確認します。x=0で分母が0になり、ここが特異点になります。このような場合、複素積分ではx=0を避けるように経路を取り、残差定理を用いて積分を計算します。

積分経路として、上半円経路と小半円経路を考慮します。上半円経路の積分は、R→∞のときに0に収束します。小半円の部分については、経路の選び方によって積分値が異なる場合がありますが、この問題では適切な経路選定が必要です。特に、x=0を避ける経路を選ぶことで、積分が解けるようになります。

残差定理を用いて、積分を計算する際に重要なのは、x=0付近の振る舞いを正確に扱うことです。この場合、複素関数の残差を求め、積分経路を適切に設定することが解法のカギとなります。

計算の結果、積分は収束し、問題の解法が得られます。複素積分を利用することで、この積分は非常に効率的に解けることが確認できます。

この問題を解くには、複素積分を用いて特異点を避ける経路を選び、残差定理を適用する方法が有効です。特に、x=0の特異点を避けるための経路設定や、上半円経路・小半円経路の適切な使用が重要です。複素積分の技術を使うことで、こうした積分はより簡潔に解けるようになります。