三角関数の方程式 2sin²θ + cosθ - 1 = 0 の解法

三角関数の方程式 2sin²θ + cosθ – 1 = 0 を解く方法を解説します。この問題は、0 ≦ θ < 2π の範囲で解く必要があります。三角関数の基本的な公式や変形を使って解法を進めていきますので、ステップバイステップで理解していきましょう。

方程式を整理する

まず、与えられた方程式は次のようになっています。

2sin²θ + cosθ – 1 = 0

このままでは解きにくいので、sin²θ と cosθ の関係を使います。三角関数の恒等式である sin²θ + cos²θ = 1 を使うことで、sin²θ を cosθ を使って表すことができます。

まず、sin²θ = 1 – cos²θ という恒等式を使って、方程式を次のように書き換えます。

2(1 – cos²θ) + cosθ – 1 = 0

これを展開して整理すると、次のようになります。

2 – 2cos²θ + cosθ – 1 = 0

さらに整理すると、

1 – 2cos²θ + cosθ = 0

となります。この方程式が解きやすくなりました。

次に、この二次方程式を解きます。方程式は次のようになります。

-2cos²θ + cosθ + 1 = 0

これは一般的な二次方程式 ax² + bx + c = 0 の形と同じです。ここで、x = cosθ と置くと、係数 a = -2, b = 1, c = 1 です。

二次方程式の解の公式を使って解くと、次のようになります。

cosθ = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a

これを代入して計算すると、

cosθ = [-1 ± √(1² – 4(-2)(1))] / (2(-2))

cosθ = [-1 ± √(1 + 8)] / (-4)

cosθ = [-1 ± √9] / (-4)

cosθ = [-1 ± 3] / (-4)

ここで、2つの解が得られます。

cosθ = (-1 + 3) / (-4) = 2 / (-4) = -1/2

または

cosθ = (-1 – 3) / (-4) = -4 / (-4) = 1

cosθ = -1/2 または cosθ = 1 となりました。それぞれについてθの値を求めます。

1. cosθ = 1 の場合、θ = 0 です。

2. cosθ = -1/2 の場合、θ = 2π/3 または θ = 4π/3 となります。

方程式 2sin²θ + cosθ – 1 = 0 の解は、θ = 0, 2π/3, 4π/3 となります。これらの解は 0 ≦ θ < 2π の範囲内に収まっているので、問題の条件を満たしています。