2022の2022乗を10で割った余りを求めるという問題は、数論の一部であり、特に合同式を使った解法が有効です。この記事では、この問題を解決するための数学的アプローチをわかりやすく解説します。
1. 問題の理解
問題は、2022の2022乗を10で割った余りを求めるというものです。つまり、次の式を解くことが求められています。
2022^2022 mod 10
これを計算するには、2022を10で割った余りに注目し、計算を簡略化します。
2. 余りの計算
まず、2022を10で割った余りを求めます。
2022 mod 10 = 2
したがって、2022の2022乗は、2の2022乗と同じ余りを持ちます。これにより、問題は次のように単純化されます。
2^2022 mod 10
3. パターンを探す
次に、2の累乗が10で割った余りがどのように変化するかを調べます。具体的には、2の累乗の余りが周期的に繰り返すことに注目します。
以下のように、2の累乗を10で割った余りを計算します。
- 2^1 mod 10 = 2
- 2^2 mod 10 = 4
- 2^3 mod 10 = 8
- 2^4 mod 10 = 6
- 2^5 mod 10 = 2
ここで、2^5 mod 10 は再び2になります。このように、2の累乗の余りは周期的に「2, 4, 8, 6」の順番で繰り返します。
4. 2022乗における余りを求める
次に、2022がこの周期においてどの位置に対応するかを調べます。周期は4つの数字で繰り返されているので、2022を4で割った余りを求めます。
2022 mod 4 = 2
したがって、2022乗は2の2乗と同じ余りを持ちます。2^2 mod 10 の結果は4です。
5. 結論
したがって、2022の2022乗を10で割った余りは次の通りです。
2022^2022 mod 10 = 4
このように、数論の概念を使うことで、大きな数の余りを効率的に計算することができます。
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