数3のグラフの概形を調べる際に、f’（1階導関数）やf”（2階導関数）を使う方法が一般的です。しかし、これらの関数をどう使うかについて混乱することがあるでしょう。本記事では、f’とf”を使ってグラフを調べる方法の違いについて、わかりやすく解説します。
1. f’ と f” の基本的な役割
まずは、f’とf”の役割について簡単に振り返りましょう。
- f'(x)は関数の傾きを表します。つまり、xの増加に対するf(x)の変化率です。f'(x)が0になる点は、関数の増減が変わる場所（極値）を示します。
- f”(x)は関数の曲がり具合、つまり凹凸を示します。f”(x)が正のときは関数が上に凸、負のときは下に凸となります。
2. f’を使ってグラフを調べる方法
f’（1階導関数）を使って、グラフの傾きを調べます。
- f'(x)が正なら、関数は増加しています。
- f'(x)が負なら、関数は減少しています。
- f'(x)が0になる点（x = a）では、関数の増減が変わる可能性があります。この点は極大値または極小値の候補となります。
例えば、f'(x) = 0 となるx = a で、f(x)が増加から減少に変わるなら、x = a は極大値となります。
3. f”を使ってグラフを調べる方法
次に、f”（2階導関数）を使って、関数の凹凸を調べます。
- f”(x)が正のとき、関数は上に凸（凹みが上向き）です。
- f”(x)が負のとき、関数は下に凸（凹みが下向き）です。
- f”(x)が0の場合、凹凸の変化点があるかもしれません。これは、変曲点と言います。
4. f’ と f” を組み合わせたグラフの調べ方
f’とf”を組み合わせることで、より詳細に関数のグラフを描くことができます。まずf'(x)で増減を確認し、次にf”(x)で凹凸を確認します。
例えば、f'(x)が0になった後、f”(x)が正であれば、その点は極小値であり、逆にf”(x)が負であれば、極大値です。f”(x)が0であれば、変曲点の可能性があります。
5. まとめ
f’とf”は、数3の関数のグラフを調べる際に重要な役割を果たします。f’は関数の増減を、f”は凹凸を示します。これらを適切に使い分けることで、関数の挙動を正確に把握でき、グラフの形をしっかりと描くことができます。
コメント