論理式における変数の代入とその証明方法

この問題では、論理式における変数の代入とその逆操作についての証明を求められています。特に、自由変数yにxを代入した後、元の論理式F(x)に戻す方法を解説します。

1. 代入の基本的なルール

まず、代入とは、論理式の中の特定の変数を他の変数に置き換える操作です。しかし、単に変数を置き換えるだけではなく、自由変数と束縛変数の区別を意識する必要があります。自由変数はその式において変数が外部から与えられるもので、束縛変数は他の部分で決まっている変数です。

質問の中で述べられているように、xをyに代入する場合、自由変数であるxだけがyに置き換えられ、束縛変数であるxはそのままとなります。

F(x)においてxをyに代入すると、新しい論理式F(y/x)が得られます。この式では、yが自由変数として現れますが、xは依然として束縛変数であるため、その取り扱いは異なります。

重要なのは、yが元々F(x)に自由変数として含まれていない場合、代入後の式F(y/x)で自由変数yをxに置き換えることが可能である点です。これにより、F(x)に戻すことができます。

ここで証明を進めます。もしF(x)においてxをyに代入したとき、元の論理式がF(y/x)になります。この時、F(y/x)の中のyは、代入によって自由変数として現れたもので、xと同じ役割を果たしています。

次に、F(y/x)の中の自由変数yにxを代入すると、元の式F(x)と同じ式が得られます。これは、yが自由変数として代入された後でも、変数の代入が一貫して行われているためです。

このように、yが論理式F(x)に自由変数として現れ、xを代入することで元の式F(x)に戻ることが証明されました。代入の際には、自由変数と束縛変数の区別をしっかり理解し、適切に変数を置き換えることが大切です。