x^2 - 2x + m ≧ 0 の定数 m の値の範囲を求める方法

この問題では、不等式 x^2 – 2x + m ≧ 0 が区間 -2 ≦ x ≦ 0 で常に成り立つような定数 m の範囲を求める問題です。定義された範囲内で不等式が成り立つための m の値を計算してみましょう。

問題の整理

与えられた不等式は x^2 – 2x + m ≧ 0 で、範囲は -2 ≦ x ≦ 0 です。この不等式がこの範囲で常に成り立つためには、x の取りうる値すべてに対して不等式が成立する必要があります。

まず、不等式の形から、これは2次関数の不等式です。したがって、2次関数のグラフが x 軸の上にある（または x 軸と接している）必要があります。

まず、x^2 – 2x + m の頂点を求めましょう。2次関数の一般的な形は ax^2 + bx + c で、頂点の x 座標は x = -b / 2a で求められます。今回の式では a = 1, b = -2 なので、頂点の x 座標は。

x = -(-2) / 2(1) = 1

したがって、頂点は x = 1 であることがわかります。この頂点での y 座標を求めるために、x = 1 を代入して式を計算します。

y = (1)^2 – 2(1) + m = 1 – 2 + m = m – 1

したがって、頂点の座標は (1, m – 1) となります。

次に、不等式 x^2 – 2x + m ≧ 0 が区間 -2 ≦ x ≦ 0 で常に成り立つためには、この区間内での関数の値が常に0以上である必要があります。まず、区間の端点で関数の値を求めます。

式に x = -2 を代入すると。

(-2)^2 – 2(-2) + m = 4 + 4 + m = 8 + m

この値が0以上でなければなりません。よって。

8 + m ≧ 0

これを解くと。

m ≧ -8

次に x = 0 を代入して。

0^2 – 2(0) + m = m

この値も0以上でなければならないため。

m ≧ 0

これらの条件を合わせると、m は -8 以上、かつ 0 以上である必要があります。したがって、m の範囲は。

-8 ≦ m ≦ 0

不等式 x^2 – 2x + m ≧ 0 が -2 ≦ x ≦ 0 の範囲で常に成り立つためには、定数 m の値は -8 ≦ m ≦ 0 の範囲にある必要があります。この範囲内であれば、不等式が必ず成立することが確認できます。