y = 1/2x² − 4x + 2 の最大値が26になる理由の解説

与えられた関数 y = 1/2x² − 4x + 2 の最大値が26になる理由を解説します。まず、関数がどのようにして最大値を取るのかを理解するために、関数の解析を行います。以下の手順で解説します。

1. 関数のグラフとその特徴

関数 y = 1/2x² − 4x + 2 は2次関数です。2次関数のグラフは放物線の形をしており、係数がプラスのため、上に凸のグラフになります。つまり、この関数には最大値ではなく最小値があります。しかし、問題文で最大値が26になると言われているので、範囲が指定されていることに注目しましょう。

2次関数の最大値や最小値を求めるには、まず頂点を求める必要があります。2次関数の一般形 y = ax² + bx + c の頂点の x 座標は、次の公式で求められます。

x = −b / 2a

ここで、a = 1/2, b = −4 ですから。

x = −(−4) / 2(1/2) = 4 / 1 = 4

次に、頂点の y 座標を求めます。x = 4 のときの y の値を関数に代入して求めます。

y = 1/2(4)² − 4(4) + 2 = 1/2(16) − 16 + 2 = 8 − 16 + 2 = −6

したがって、頂点の座標は (4, −6) です。この時点で最小値が −6 であることが分かります。

問題で指定されている範囲は −4 ≦ x ≦ 2 です。この範囲内での最大値を求めるために、x = −4 および x = 2 のときの y の値を求めます。

y(−4) = 1/2(−4)² − 4(−4) + 2 = 1/2(16) + 16 + 2 = 8 + 16 + 2 = 26

y(2) = 1/2(2)² − 4(2) + 2 = 1/2(4) − 8 + 2 = 2 − 8 + 2 = −4

したがって、指定された範囲内で最大値は y = 26 です。

このようにして、y = 1/2x² − 4x + 2 の関数における最大値が 26 であることが確認できました。範囲内で最も大きな値を取るのは、x = −4 のときの y の値です。2次関数の最大値や最小値を求める際には、範囲に注目し、頂点を求めることが重要です。