背理法で「PならばQ」を証明する方法

「PならばQ」を背理法で証明する方法について解説します。背理法は、ある命題が偽であると仮定した場合に矛盾を導き出し、それによって命題が真であることを示す証明法です。

背理法の基本的な考え方

背理法では、証明したい命題の逆、つまり命題が偽であると仮定して矛盾を導き出します。その結果、最初の仮定が間違っていたことが分かり、証明したい命題が真であることが示されます。

「PならばQ」を証明する場合、まず「PならばQ」が偽であると仮定します。これが意味するのは、「Pが真でQが偽である」と仮定することです。この矛盾を導き出すことが目的です。

1. 「PならばQ」を証明するためには、まず「Pが真でQが偽である」という仮定を立てます。

2. 次に、この仮定から何らかの矛盾を導きます。矛盾が出ると、「Pが真でQが偽である」という仮定は誤りであると分かります。

3. その結果、「PならばQ」が真であることが証明されます。

例えば、「もしPならばQが成り立つ」とします。背理法を使って証明するには、まず「Pが真でQが偽である」と仮定します。この仮定から論理的に矛盾を導くことで、最初の命題「PならばQ」が真であることが証明できます。

背理法を使って「PならばQ」を証明するためには、まずその逆、「Pが真でQが偽である」と仮定します。その仮定から矛盾を導き出し、命題「PならばQ」が真であることを示します。この方法は、特に命題が直接的に証明できない場合に非常に有効です。