2変数関数の極限問題解法: f(x, y) = xy³ / ((x² + y⁴)√(x² + y²)) の解法

この問題では、2変数関数の極限を求める方法を学びます。関数 f(x, y) = xy³ / ((x² + y⁴)√(x² + y²)) が (x, y) → (0, 0) のとき、どのように極限を求めるかを順を追って解説します。問題の解法を理解するために、極座標を使って解いていきます。

1. 問題の整理

与えられた関数は次のような形です。

f(x, y) = xy³ / ((x² + y⁴)√(x² + y²))

この関数の (x, y) → (0, 0) における極限を求める問題です。まず、極限の値が存在するかどうかを確認するために、極座標に変換して解いていきます。

極座標に変換するためには、x = r cosθ と y = r sinθ を使用します。すると、x² + y² = r² となります。

関数 f(x, y) を極座標に書き直すと、次のようになります。

f(r, θ) = r cosθ * (r sinθ)³ / ((r² cos²θ + r⁴ sin⁴θ) * r)

これを簡単にすると。

f(r, θ) = r cosθ sin³θ / (cos²θ + r² sin⁴θ)

r → 0 としたとき、rが0に近づくと、関数の分子は r の高次の項が含まれており、分母もr²やr⁴の項が含まれているので、rが0に近づくにつれて関数は0に収束します。

したがって、(x, y) → (0, 0) のときの極限値は0になります。

もし、x = 0 のとき、y = 0 のときにそれぞれ関数の値を確認しても、結果は0となります。これにより、極限値が0であることが確定します。

この問題では、極座標を使って2変数関数の極限を求めました。問題の解法において、極座標変換を用いて関数の振る舞いを解析し、最終的に (x, y) → (0, 0) の極限値は0であることが確認できました。この方法を使えば、他の2変数関数の極限も同様に解くことができます。