数学II 三角関数の証明: 2(1 + 2sinθ + sin²θ + cos²θ) = 4(1 + sinθ) の証明

数学IIの三角関数における式の証明は、少し混乱を招くことがあります。特に、与えられた式を変形していく過程での各ステップを明確に理解することが重要です。ここでは、2(1 + 2sinθ + sin²θ + cos²θ) = 4(1 + sinθ) という式の証明方法について詳しく解説します。

問題の式を展開する

まず、与えられた式を展開します。左辺の式は、2(1 + 2sinθ + sin²θ + cos²θ) です。ここで、cos²θは三角関数の恒等式 sin²θ + cos²θ = 1 を使うと、簡単に1に置き換えることができます。

これにより、左辺の式は次のように変形できます。

2(1 + 2sinθ + sin²θ + cos²θ) = 2(1 + 2sinθ + sin²θ + 1) = 2(2 + 2sinθ + sin²θ)

右辺と一致させる

次に、右辺の式 4(1 + sinθ) を展開します。右辺を展開すると、次のようになります。

4(1 + sinθ) = 4 + 4sinθ

式を比較して確認する

左辺の式 2(2 + 2sinθ + sin²θ) と右辺の式 4 + 4sinθ を比較してみましょう。左辺の式は次のように展開されます。

2(2 + 2sinθ + sin²θ) = 4 + 4sinθ + 2sin²θ

ここで、左辺の 2sin²θ が右辺には存在しないため、これは不一致に見えます。したがって、この式を 4(1 + sinθ) という形に一致させるためには、追加の条件や修正が必要である可能性があります。

まとめ

この証明の過程では、三角関数の恒等式 sin²θ + cos²θ = 1 を適用することが重要です。しかし、最終的に右辺と一致させるためには、問題の設定や条件に注意が必要です。式が等式として成立するためには、具体的な設定を確認する必要があるかもしれません。