xとyの対称式がx+yとxyで表せる理由：証明と解説

この記事では、xとyの対称式がx+yとxyのみで表せる理由について解説します。具体的には、x²+y²=(x+y)²-2xyのような式を用いて、どのようにしてxとyを用いた式に変換できるかを示します。

1. 対称式とは？

まず、対称式とはxとyのような変数を含む式で、xとyの順序を入れ替えても式の内容が変わらない性質を持つものです。対称式の特徴的な例として、x² + y²やx + y、xyなどがあります。

ここで注目するのは、x² + y²を(x + y)² – 2xyの形に変形する方法です。まず、(x + y)²を展開すると、x² + 2xy + y²となります。この式から2xyを引くと、x² + y²が得られます。このように、x² + y²は(x + y)² – 2xyに等しいことがわかります。

x² + y²が(x + y)² – 2xyに表されるのは、x + yとxyがxとyの足し算と掛け算であり、対称的に扱うことができるためです。これにより、xとyを入れ替えても式の内容は変わらないため、x² + y²を(x + y)² – 2xyとして表現することができます。

対称式の性質を理解することで、x² + y²のような式をx + yとxyを用いて簡潔に表すことができます。この方法は物理学や数学での問題解決にも有効で、変数が対称的に登場する問題において非常に役立ちます。