二次不等式の解法：因数分解と判別式の違いについての解説

二次不等式を解く際、因数分解を使って解く方法と、判別式を使う方法にはどのような違いがあるのでしょうか？この疑問について、具体的な例を通じて解説します。

1. 二次不等式とは？

まず、二次不等式とは、式がxの二乗（x²）を含む不等式のことを指します。例えば、5x² – 15x + 20 > 0という形の式です。これを解くためには、式の解がどのような範囲にあるかを求めます。

因数分解を使って解く方法では、式を因数の積に分解します。例えば、5x² – 15x + 20は5(x – 4)(x + 1)と因数分解できます。この場合、式が0になるxの値は、x = 4およびx = -1です。この結果を元に不等式を解いていきます。

判別式は、二次方程式の解が実数であるか虚数であるかを判定するために使われます。具体的には、判別式D = b² – 4acの値が0より大きければ実数解が2つ、0なら1つ、0未満なら解が存在しないことがわかります。

因数分解は式を直接解くために便利ですが、判別式を使うと解が実際に存在するかどうか、またその解がどの範囲にあるかを効率よく調べることができます。判別式を使って解なしと分かるのは、解が実数解を持たない場合です。

質問のように、判別式を使うと解が「解なし」になる理由は、式の判別式Dが負の値になった場合です。これは、式の二次方程式が実数解を持たず、解が存在しないことを示します。因数分解の場合は実数解を求めるため、解の有無を確認するのに判別式を使います。

因数分解と判別式は、どちらも二次不等式を解くための方法ですが、使い方が異なります。因数分解は式を直接解くのに便利ですが、判別式は解が実数か虚数かを判定するのに役立ちます。どちらを使うかは問題に応じて選ぶことが大切です。