平均値の定理を証明するための簡単なルール

平均値の定理は、微分積分学における重要な定理であり、関数が一定の条件を満たすとき、その関数の平均変化率がある点で関数の導関数と一致することを示します。この記事では、平均値の定理を証明するために使用できる「短いルール」について解説します。

平均値の定理とは？

平均値の定理は次のように表されます。

f(b) - f(a) = f'(c) * (b - a)

ここで、fは連続で微分可能な関数であり、aとbは定義域内の点、cはaとbの間の点です。この定理は、ある区間[a, b]内で関数の平均変化率が、区間内のどこかの点cでその関数の瞬時変化率と一致することを述べています。

平均値の定理を証明するためには、次のルールを用います。

まず、f(x)が区間[a, b]内で連続であり、さらにf(x)がその区間内で微分可能である必要があります。この条件を満たすことで、関数の平均変化率が瞬時変化率に対応することが可能になります。

次に、関数の差分商を考えます。具体的には、区間[a, b]内でfの変化をb – aで割った値が平均変化率です。

Δf = (f(b) - f(a)) / (b - a)

ここで、この差分商が導関数に近づくことを示す必要があります。

証明において、ロルの定理を適用することが重要です。ロルの定理によれば、f(a) = f(b)であれば、区間(a, b)内に少なくとも1点cが存在し、f'(c) = 0となります。これを基にして、平均値の定理を証明できます。

平均値の定理の証明手順は以下の通りです。

平均値の定理は、関数の平均変化率と瞬時変化率の関係を示す重要な定理であり、証明には連続性、微分可能性、そしてロルの定理を使った簡潔な方法が有効です。この方法を利用することで、平均値の定理を効率的に証明することができます。