この記事では、二変数関数xy^3/(x^2 + y^4)が原点で全微分可能かどうかを調べる方法を解説します。この関数の全微分可能性の問題を、具体的な手順でどのように進めるかを見ていきます。特に、関数の値や偏微分の計算方法を含めて、なぜ全微分が不可能であるかを説明します。
問題設定と関数の定義
まず、与えられた二変数関数は次のように定義されます。
f(x, y) = xy^3 / (x^2 + y^4)
この関数が原点(0, 0)で全微分可能かどうかを調べるためには、偏微分や連続性を考慮する必要があります。関数が全微分可能であるためには、関数の値と偏微分が連続であることが求められます。
関数の値と偏微分の計算
次に、関数f(x, y)の偏微分を計算します。まず、原点での関数の値を確認すると、f(0, 0) = 0となります。次に、xについての偏微分f_x(x, y)と、yについての偏微分f_y(x, y)を計算します。どちらも、原点での値は0になります。
このように、偏微分が原点で0となるにもかかわらず、関数が全微分可能でない理由について調べる必要があります。
全微分不可能の証明
関数が全微分可能かどうかを調べるためには、関数の連続性と微分可能性を調べる必要があります。原点での微分可能性を確かめるために、偏微分だけでなく、関数がその点で連続であるかを調べます。
この場合、関数f(x, y)は原点において連続でないため、全微分不可能であることがわかります。特に、関数の定義において、分母がx^2 + y^4となっているため、原点での振る舞いが不連続であることが確認できます。
まとめ
この問題では、二変数関数xy^3 / (x^2 + y^4)が原点で全微分可能でない理由を調べました。関数の値や偏微分が原点で0であるにもかかわらず、関数が全微分不可能であることが、連続性と微分可能性の観点から明らかになりました。このような問題においては、偏微分だけでなく、関数全体の振る舞いを注意深く分析することが重要です。
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