楕円を媒介変数を使って表現する方法について、多くの学生が疑問を持っています。特に、原点中心でない場合や回転した場合に、原点中心の媒介変数の式がそのまま使えるのかどうかは重要なポイントです。この記事では、その点を解説し、回転した楕円や原点中心でない楕円に対応する方法を紹介します。
楕円の媒介変数法とは？
楕円を表すための媒介変数法とは、通常、パラメータt（時間など）を使って、楕円上の任意の点を（x, y）で表現する方法です。原点を中心とした楕円の場合、媒介変数は次のように表されます。
x = a * cos(t), y = b * sin(t)
ここで、aとbは楕円の長軸と短軸の長さを表します。この式は、楕円が原点を中心にあり、軸がx軸とy軸に平行である場合に成立します。
原点中心でない楕円の場合
原点中心でない楕円の場合、媒介変数法を直接使うことはできません。なぜなら、原点が楕円の中心ではなく、楕円の中心座標が(x₀, y₀)の場合、媒介変数式は次のように修正する必要があるからです。
x = x₀ + a * cos(t), y = y₀ + b * sin(t)
このように、原点中心でない楕円の場合、中心の座標を考慮した式を使う必要があります。
楕円が回転している場合の媒介変数法
楕円が回転している場合、回転行列を使って楕円の媒介変数式を修正する必要があります。回転角をθとした場合、楕円の媒介変数は次のようになります。
x = x₀ + a * cos(t) * cos(θ) – b * sin(t) * sin(θ)
y = y₀ + a * cos(t) * sin(θ) + b * sin(t) * cos(θ)
ここでは、回転行列を使って、楕円の座標系を回転させています。この式を使うことで、回転した楕円を媒介変数で表現することができます。
回転と平行移動を組み合わせた場合の対応
楕円が平行移動と回転を同時に受けている場合、まず平行移動を考慮し、その後に回転を適用します。最初に中心座標(x₀, y₀)を考慮して、次に回転行列を適用する方法です。最終的には、平行移動後の媒介変数式に回転行列を組み込んだ形で表現します。
まとめ
原点中心でない楕円や回転した楕円に対しても、媒介変数法は使うことができますが、原点中心の場合とは異なる式を使う必要があります。原点中心でない場合は中心座標を考慮し、回転している場合は回転行列を使って座標変換を行うことが重要です。このように、楕円の変形に合わせて媒介変数を調整することで、様々な楕円を表現することが可能になります。
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