群の定義と演算の順序: 積の計算順序が同じ結果になる理由

数学の群の定義に関する疑問は多くありますが、その中でも積の計算順序がどこから計算しても同じ結果になる理由は重要です。この問題に関する理解を深めるため、群の基本的な定義とその演算規則を明確に解説します。

群の定義と演算規則の復習

群とは、ある集合Gとその集合上で定義された二項演算（積）に関して、以下の4つの条件が成り立つときに成立します。

• 閉包性: 任意のa, b ∈ Gについて、abもGに含まれる。
• 単位元の存在: 単位元1が存在し、任意のa ∈ Gに対して、a1 = 1a = aが成り立つ。
• 逆元の存在: 任意のa ∈ Gに対して、aの逆元a⁻¹が存在し、aa⁻¹ = a⁻¹a = 1が成り立つ。
• 結合法則: 任意のa, b, c ∈ Gに対して、(ab)c = a(bc)が成り立つ。

帰納的定義と積の計算順序

n個の元の積をa₁a₂…aₙとすると、(a₁a₂…aₙ₋₁)aₙというように計算されます。これが群の結合法則に従っている限り、どこから計算を始めても同じ結果が得られる理由は、結合法則が成り立つからです。つまり、積を計算する際、最初に計算する要素がどこであろうと、最終的に結果が変わらないのです。

具体例: 群における積の計算順序

例えば、群の元がa, b, cの場合、(ab)c = a(bc)が成り立つため、積の順序を変更しても最終的な結果が変わらないことが分かります。この性質は、群の演算が帰納的に定義されているため、計算の順序が結果に影響しないという理論的根拠となります。

帰納法による積の順序保証

帰納的に定義された群の演算においては、n個の元の積に対して、最初の1つから順番に計算を進めても、後から計算を進めても、最終的に得られる結果は常に同じであることが保証されます。これは群の結合法則による性質です。

まとめ

群の定義における積の計算順序に関する疑問は、結合法則に基づく帰納的な計算の性質を理解することで解決できます。どこから計算しても同じ結果が得られる理由は、群演算の基本的な性質にあるのです。