二次関数の頂点と通る点の求め方: y = 2(x+1)² – 1 の解説

二次関数のグラフを描く際に、頂点の位置や通る点を求めるのは基本的なテクニックです。今回の問題では、関数 y = 2(x+1)² – 1 の頂点が -1, -1 で、点 (0,1) を通ることが与えられています。この関数の頂点や通る点についての具体的な解法を解説します。

二次関数の形と頂点

まず、与えられた関数 y = 2(x+1)² – 1 は、標準形で表されています。この関数は、平方完成された形になっているため、頂点の座標を簡単に求めることができます。標準形の二次関数 y = a(x – h)² + k において、(h, k) が頂点の座標になります。

したがって、y = 2(x + 1)² – 1 から、x の項が (x + 1) の形になっていることから、頂点の座標は (-1, -1) であることがわかります。

関数の通る点の求め方

次に、y = 2(x + 1)² – 1 が点 (0,1) を通ることを確認します。これは、x = 0 を代入して y の値が 1 になるかを確かめる作業です。実際に代入して計算してみましょう。

y = 2(0 + 1)² – 1 = 2(1)² – 1 = 2 – 1 = 1

この計算から、確かに点 (0, 1) を通ることが確認できます。

下に凸のグラフの特徴

この二次関数は、x²の係数が正の値（2）であるため、グラフは下に凸の形になります。下に凸というのは、頂点が最小値を持つことを意味し、グラフが上下に広がっていく形になります。

また、x = -1 のときが最小値を取る点であり、その点から左右に対称の形でグラフが広がっていきます。

まとめ

y = 2(x + 1)² – 1 の関数は、頂点が (-1, -1) にあり、点 (0, 1) を通ることが確認できました。二次関数のグラフを描く際には、標準形を用いて頂点を簡単に求めることができ、与えられた点がグラフを通るかどうかも確認できます。下に凸の形で最小値を持つグラフの特徴も理解することができました。