x≧2の時、x-2sinxが最小となる実数xを求める方法

高校数学の問題で、関数x-2sinxが最小となる実数xを求める問題を解いていきます。この問題は、最小値を求めるために微分を使って解くことが一般的です。では、解法を順を追って見ていきましょう。

1. 与えられた関数と条件

問題では、x≧2の時、関数f(x)=x-2sinxが最小となる実数xを求めるというものです。まずは、この関数が最小になるxの値を見つけるために、微分を使って解きます。

関数f(x)=x-2sinxの最小値を求めるために、まず微分を行います。f'(x)を計算します。

f'(x) = 1 – 2cosx

微分した結果、f'(x) = 1 – 2cosxとなります。最小値を求めるためには、まずf'(x)=0となるxを求めます。

次に、f'(x)=0と置きます。

1 – 2cosx = 0

これを解くと、cosx = 1/2となります。

cosx = 1/2になるxの解は、x = π/3 + 2nπ (nは整数) です。

しかし、問題の条件にx≧2が与えられているため、x = π/3は条件を満たしません。

したがって、x = π/3 + 2nπ という解は条件に合致しません。

次に、f'(x) = 1 – 2cosxが0でない場合、最小値はどこにあるのかを検討します。実際のグラフを見て、f(x)が最小値をどのように取るのかを確認することができます。

微分と条件から、関数x-2sinxの最小値はx = 2において取ることが分かります。したがって、この関数が最小となる実数xはx = 2です。