数学の問題解説：△BPQの面積が4cm²になる時間を求める問題

この問題は、正方形ABCDの辺を移動する点Pと点Qに関する問題です。点Pは辺ABを、点Qは辺DCとCBを移動し、△BPQの面積が4cm²になる時間を求めるという内容です。では、具体的に問題を解いていきましょう。

1. 問題の整理

正方形ABCDの辺の長さは8cmです。点Pは点Aを出発して、辺AB上を秒速1cmで点Bに向かって動きます。点Qは点Dを出発し、辺DC、CBを秒速2cmで点Bに向かって動きます。△BPQの面積が4cm²になる時間を求める問題です。

まず、点Pと点Qの位置が時間とともにどのように変化するのかを式で表します。

点Pは辺AB上を動いていますので、点Pの位置は時間tに応じて次のように表せます。点Aから点Bまでの距離は8cmで、点Pの速度は1cm/sですので、点Pの位置は時間t秒後に、8t cmとなります。

点Qは点Dから出発して、辺DC、CBを動きます。辺DCと辺CBを合わせた長さは16cmで、点Qの速度は2cm/sですので、点Qの位置は時間t秒後に、16t cmとなります。

△BPQの面積を求めるためには、3つの点B、P、Qの座標が必要です。正方形の各辺の座標を基に、点Bは(8,0)、点Pは(8t, 0)、点Qは(8 – 2t, 8)となります。ここで、△BPQの面積を求めるためには、行列式を用いて面積を計算できます。

△BPQの面積は以下の式で求められます。

面積 = 1/2 | 8(0 – 8) + 8t(8 – 0) + (8 – 2t)(0 – 8) | = 1/2 | -64 + 64t – 64 + 16t | = 1/2 | 80t – 128 |

この面積が4cm²になるため、80t – 128 = 8となる時のtを求めます。

面積の式から、80t – 128 = 8 となる t を求めます。

80t = 136 → t = 136 / 80 = 1.7秒

したがって、点Pが出発してから1.7秒後に△BPQの面積が4cm²になります。

この問題では、点Pと点Qが移動する速度と位置に基づいて、△BPQの面積を求めました。最終的に、面積が4cm²になるのは、点Pが出発してから1.7秒後であることが分かりました。問題を解くためには、点の位置を式で表し、その後面積を計算する方法を使用しました。