等差数列の問題: 5を分母とする分数の和の求め方

この問題では、aとbの間にある5を分母とするすべての分数（整数を除く）の和を求める方法を学びます。問題文にある「a < k/5 < b」の形に関して、特にkが「5a+1」から「5b-1」までの範囲であることがポイントです。この記事では、これらの数式とその計算過程について詳しく解説します。

1. 問題の整理と設定

与えられた問題は、aとbという2つの正の整数があり、a < bであることが前提です。問題文にある「5を分母とする分数」という表現から、aとbの間にある整数kに対して、k/5の形で分数を求めることになります。重要なのは、このkがどの範囲に含まれるかという点です。

まず、「a < k/5 < b」という不等式が与えられています。これを5をかけて整理すると、次のようになります。

5a < k < 5b

したがって、kは5a+1から5b-1までの範囲にある整数であることが分かります。

kが「5a+1から5b−1」の範囲にあるという部分で、少し誤解が生じやすいポイントがあります。例えば、a = 5、b = 6の場合を考えたとき、kの範囲は5a+1から5b−1、すなわち26から29となります。

しかし、kが「整数であること」が求められているため、この範囲内で使われる具体的な整数値（26, 27, 28, 29）を明確にリストアップし、それらを5で割った結果を計算に使用します。

kがどの範囲に含まれるかが決まったら、それらのkに対応する分数（k/5）を求めます。たとえば、k = 26, 27, 28, 29のとき、これらを5で割った結果の分数はそれぞれ26/5, 27/5, 28/5, 29/5となります。

これらの分数を全て足し合わせることによって、最終的な答えを求めることができます。

この問題では、分数の範囲を求める際に数式を整理し、kがどの範囲にあるかを理解することがカギとなります。特に「整数」を扱うことに注意し、範囲を適切に設定してから計算に進むことが重要です。数学の問題において、正確な設定と計算のステップを踏むことが解法への近道となります。