複素数の式において、実数部分と虚数部分を分けて表現することがあります。この記事では、複素数の式がどのように変形していくのか、具体的に「(2+i)x + (3-2i)y = -9 + 20i」の式が「(2x + 3y) + (x – 2y)i = -9 + 20i」に変わる理由を解説します。
複素数とは？
複素数とは、実数部分と虚数部分からなる数のことです。複素数は通常、a + biの形で表され、aが実数部分、bが虚数部分を示します。この形式で表される複素数は、平面上の点としても考えられます。
たとえば、iは虚数単位であり、i² = -1という特性を持っています。これにより、複素数は実数だけでは表現できない値を含むことができるのです。
式の分解と実数・虚数部分の分け方
複素数の式では、実数部分と虚数部分を分けて考えることが重要です。例えば、式「(2+i)x + (3-2i)y = -9 + 20i」の場合、xとyは実数であり、iは虚数単位です。この式を展開すると、実数部分と虚数部分がそれぞれ分かれます。
具体的に式を展開すると、次のようになります。
(2+i)x + (3-2i)y = 2x + ix + 3y - 2iy
これを実数部分と虚数部分に分けると、実数部分は「2x + 3y」、虚数部分は「x – 2y」となります。これが、式「(2x + 3y) + (x – 2y)i = -9 + 20i」となる理由です。
実数部分と虚数部分の対応
複素数の等式が成り立つためには、実数部分と虚数部分がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、左辺と右辺の実数部分と虚数部分をそれぞれ比較して、それぞれの条件を満たすように式を整えます。
この場合、実数部分は左辺の「2x + 3y」と右辺の「-9」を比較し、虚数部分は左辺の「x – 2y」と右辺の「20」を比較します。これにより、xとyに関する具体的な方程式を得ることができます。
まとめ
複素数の式では、実数部分と虚数部分を分けて考えることが重要です。式「(2+i)x + (3-2i)y = -9 + 20i」を展開すると、「(2x + 3y) + (x – 2y)i = -9 + 20i」という形になります。実数部分と虚数部分を比較することで、方程式が成り立つことを確認できます。複素数の式を扱う際は、このように部分ごとに分けて考えることが基本です。
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