複素数における1の6乗根の求め方と絶対値・偏角の比較について

複素数の1のn乗根を求める際に、絶対値と偏角を比較する理由について解説します。特に、1の6乗根を求める場合にどのように絶対値と偏角を使用するのか、その理論的背景を理解することが重要です。

1. 複素数の絶対値と偏角

複素数は通常、極形式（または偏角形式）で表されます。極形式では、複素数を次のように書きます。

z = r(cosθ + i sinθ)

ここで、rは複素数の絶対値（大きさ）で、θは偏角（角度）です。この形式を使用すると、複素数の演算やn乗根の計算が非常に簡単になります。

1のn乗根は、複素数の極形式を利用して求めます。1を極形式で表すと、絶対値r = 1、偏角θ = 2πk（kは整数）となります。n乗根を求めるためには、次の式を使います。

z_k = cos(θ/n + 2kπ/n) + i sin(θ/n + 2kπ/n)

ここで、kは0からn-1までの整数です。これにより、1のn乗根がn個得られます。

1の6乗根を求める場合、k=0から5までの6つの値が得られます。それぞれの解は、次のように計算できます。

z_0 = cos(0) + i sin(0) = 1

z_1 = cos(π/3) + i sin(π/3)

z_2 = cos(2π/3) + i sin(2π/3)

…このように、6つの解が得られます。

質問にあったように、絶対値と偏角を比較するのは、1のn乗根を求める過程において非常に重要です。なぜなら、1のn乗根の計算では、各解が等間隔で配置されるため、偏角が異なるだけで絶対値は常に1だからです。そのため、比較するのは主に偏角であり、絶対値は常に一定の値（1）となります。

複素数の1のn乗根を求める際、絶対値は常に1であり、偏角のみが重要な役割を果たします。これにより、絶対値と偏角を比較することで、1のn乗根を効率的に求めることができます。