一次関数と面積を求める問題の解法と最小値の求め方

この問題では、一次関数と曲線を使って囲まれる図形の面積を求め、その最小値を見つける方法について説明します。与えられた情報に基づき、どのように解法を進めていくかを段階的に解説していきます。

1. 問題の整理と直線の式の求め方

与えられた点(0, a+1/2a)と(1, a)を通る直線の方程式を求めるために、まずは直線の傾きを計算します。傾きmは、yの増加量をxの増加量で割ったものです。

直線の傾きmは、次の式で求められます。
m = (a – (a + 1/2a)) / (1 – 0) = -1/2a

傾きmがわかったので、直線の方程式をy = mx + bの形式で書きます。ここで、bはy切片を表し、点(0, a+1/2a)を通るので、y切片はa + 1/2aとなります。

したがって、直線の式は以下のように表されます。
y = (-1/2a)x + (a + 1/2a)

次に、曲線y = ax^2、y軸、そして直線APで囲まれる図形の面積S(a)を求めます。積分を用いてこの面積を計算する方法について解説します。

面積S(a)は、x = 0からx = 1までの範囲で、曲線y = ax^2と直線y = (-1/2a)x + (a + 1/2a)の間の領域を求めることで得られます。

最後に、得られた面積S(a)の式を微分して、その最小値を求めます。最小値を求めるには、まず微分して導関数を0にする点を求め、その点でのS(a)を計算します。

微分後、最小値を求めるためにaの値を解きます。解が求まったら、そのaの値を代入して最小の面積を求めます。

この問題では、一次関数と曲線の交点で囲まれた面積を求める方法を学びました。最小値を求めるために微分を用いることで、最も効率的に解答を得ることができます。このような問題に取り組むことで、微分の活用方法や面積計算の手順に慣れることができます。