リーマン可積分関数の極限と広義積分の関係

この記事では、リーマン可積分関数に関する極限の性質と広義積分について解説します。特に、与えられた式を基にリーマン可積分関数の極限を求める方法と、リーマン可積分が広義積分可能であるかどうかについて説明します。

1. リーマン可積分関数の極限に関する証明

まず、リーマン可積分関数が与えられたとき、次のような極限が成り立つことを示す必要があります。

f:[a,b]→Rがリーマン可積分であるとします。このとき、次の式が成り立ちます。

lim[ε→+0] ʃ[a+ε,b]f(x)dx = ʃ[a,b]f(x)dx

証明の流れとしては、まず関数fが有界であることを利用します。そして、積分範囲をと[a+ε,b]に分割し、それぞれの積分を使って極限を求めます。

fが有界関数であり、あるM>0で|f(x)|

|ʃ[a+ε,b]f(x)dx - ʃ[a,b]f(x)dx| = |ʃ[a,a+ε]f(x)dx| ≤ ʃ[a,a+ε] |f(x)| dx ≤ ʃ[a,a+ε] M dx = Mε

ε→0となると、この差はゼロに収束するため、最終的にリーマン積分の定義から、lim[ε→+0] ʃ[a+ε,b] f(x) dx = ʃ[a,b] f(x) dxが成り立ちます。

リーマン可積分関数が広義積分可能であるかどうかについても考えます。リーマン可積分であれば、積分範囲を微小に分けていくことで、その積分値が収束することが確認できます。これにより、リーマン可積分関数が広義積分可能であるという結果に繋がります。

リーマン可積分関数の極限に関する証明は、関数の有界性を利用して、積分範囲を分割し極限を求めるという方法で進められます。さらに、リーマン可積分関数が広義積分可能であることも、この性質をもとに説明できます。これは、リーマン積分と広義積分がどのように関連しているかを理解するための重要なステップです。