シュレディンガー方程式を用いて、1次元無限井戸内でのヘリウム原子の基底状態エネルギーを求める問題について解説します。この問題では、ヘリウム原子の質量やプランク定数を使用して、具体的なエネルギー値を算出します。
問題の概要
1次元無限井戸とは、非常に深いポテンシャル井戸のことを指します。この井戸内にヘリウム原子が存在する場合、その運動エネルギーは量子力学的に離散的な値を取ります。この問題では、基底状態のエネルギーを求めることが目的です。ヘリウム原子の質量、プランク定数、井戸の幅が与えられています。
シュレディンガー方程式とエネルギー計算
シュレディンガー方程式は、量子力学における波動関数の振る舞いを記述する基本的な方程式です。1次元無限井戸の中でのエネルギーは、以下の式で表されます。
E_n = rac{n^2 h^2}{8mL^2}
ここで、nは量子数（n=1, 2, 3,…）、hはプランク定数、mは質量、Lは井戸の幅です。問題においては、n=1（基底状態）の場合を考えます。
数値の代入と計算
ヘリウム原子の質量は6.64×10-27 kg、プランク定数は6.63×10-34 J・s、井戸の幅Lは1 cm = 1×10-2 mです。これらの値を上記のエネルギー式に代入して、基底状態エネルギーを求めます。
E_1 = rac{1^2 (6.63×10^{-34})^2}{8(6.64×10^{-27})(1×10^{-2})^2}
この計算を行うと、エネルギーは約1.99×10-19 Jとなります。
まとめ
このように、シュレディンガー方程式を使って、1次元無限井戸内のヘリウム原子の基底状態のエネルギーを計算することができます。基底状態エネルギーは約1.99×10-19 Jとなり、量子力学的な解法を通じて理解することができました。この計算方法は、他の原子や分子のエネルギーを求める際にも有用です。
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