三点を通る放物線の求め方 | 数学I 二次関数の解法

この問題では、3つの点(1, 2), (3, 6), (-2, 11)を通る放物線の方程式を求める方法を解説します。二次関数の一般的な形式である y = ax^2 + bx + c を使用して、与えられた点に対して連立方程式を立て、a、b、c の値を求めます。

問題の整理と必要な情報

与えられた点は(1, 2), (3, 6), (-2, 11)です。この3つの点が放物線の上に乗るので、各点に対する二次関数の式に代入して連立方程式を作成します。

二次関数の一般式

放物線は通常、二次関数の形 y = ax^2 + bx + c で表されます。ここで、a、b、c は定数です。問題では、与えられた点を通る放物線を求めるので、次のように式を立てます。

• 点(1, 2): 2 = a(1)^2 + b(1) + c
• 点(3, 6): 6 = a(3)^2 + b(3) + c
• 点(-2, 11): 11 = a(-2)^2 + b(-2) + c

連立方程式の作成

これで3つの式が得られます。

• 2 = a + b + c
• 6 = 9a + 3b + c
• 11 = 4a – 2b + c

これらの式を連立させて、a、b、c を求めます。

連立方程式の解法

まず、最初の2つの式から b と c を消去することから始めます。

1. 2 = a + b + c を c = 2 – a – b と置き換えます。

2. 次に、これを他の2つの式に代入して解いていきます。

連立方程式を解くことで、最終的に a = 1, b = -3, c = 4 が得られます。

最終的な放物線の式

これらの値を元の二次関数の式 y = ax^2 + bx + c に代入すると、最終的に放物線の方程式は y = x^2 – 3x + 4 となります。

まとめ

この問題では、3つの点を通る放物線を求めるために、二次関数の一般式 y = ax^2 + bx + c を使い、与えられた点に代入して連立方程式を解きました。最終的に得られた放物線の方程式は y = x^2 – 3x + 4 です。連立方程式を解く手順を理解しておくことが、このような問題を解くポイントです。