この問題では、与えられた関数g(x)=x^3+ax^2+bx+c に対する条件から、a、b、cの値を求める過程を詳しく解説します。特に、aの値が二つ出てくる理由についても説明します。
問題の整理と条件の確認
問題に与えられた条件は以下の通りです:
- g(x) は x=1 で極小値 0 をとる。
- g'(x) の接線の傾きが -(1/3) となる接線がただ一つ存在する。
これらの条件を使って、g(x) の導関数 g'(x) を求め、さらにaの値を導きます。
g(x) の導関数を求める
まず、g(x) の導関数を求めます。g(x) = x^3 + ax^2 + bx + c ですから、g'(x) は:
g'(x) = 3x^2 + 2ax + b
x=1での極小値の条件
次に、x=1で極小値が取られる条件を考えます。g'(x) = 0 となる必要があります。したがって、g'(1) = 0 です。
g'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 0 より、これを解くと:
3 + 2a + b = 0 となり、b = -(2a + 3) という式が得られます。
接線の傾きが -(1/3) となる条件
次に、g'(x) = -(1/3) となる接線の傾きについて考えます。g'(x) = 3x^2 + 2ax + b の解が接線の傾きに関係します。
g'(x) = -(1/3) となる x の解を求めるためには、g'(x) = -(1/3) に対して判別式が 0 となる必要があります。これにより、a の値が -2 と -4 であることが分かります。
aの値が二つ出てきた理由
a の値が二つ出てきた理由は、g'(x) = -(1/3) の解が二次方程式であるため、判別式が 0 のときに二つの解が得られることです。これにより、異なる a の値に対して、それぞれ別の解を求めることができます。
具体的には、a = -2 と a = -4 の場合、それぞれ x=1 で極小値となる条件を満たすかどうかを調べる必要があります。
a = -2 の場合と -4 の場合
a = -2 の場合、b = 1 となり、c = 0 と求められます。これにより、g(x) は x=1 で極小値をとり、条件を満たします。
a = -4 の場合には、g(x) の挙動が異なり、x=1 で極小値にはならないことが確認できます。
まとめ
この問題では、a の値が二つ出てきた理由は、g'(x) の解が二次方程式であり、その判別式が 0 となることによって、二つの異なる解を求めることができたからです。a の値が一つだった場合、それは唯一の解を意味し、問題が単純化される場合に起こります。
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