複素数平面の問題解説：偏角が最小となるzの求め方

この問題では、複素数平面上で与えられた条件に基づいて偏角が最小となる複素数zを求める方法を解説します。

1. 問題の確認と条件整理

問題文にある通り、複素数α = 1 + √3iに対して、|z – α| = 1を満たす複素数zの中で偏角が最小となるzを求める問題です。

ここで、|z – α| = 1は、複素数平面上でzとαの間の距離が1であることを意味します。これは、αを中心とした半径1の円上にzが存在することを示しています。

まず、複素数α = 1 + √3iを複素数平面にプロットしてみましょう。これを直交座標に変換すると、実部1、虚部√3となります。

これにより、αはx = 1、y = √3の位置にあります。問題における|z – α| = 1は、αを中心とした半径1の円を描くことになります。

次に、偏角が最小となるzの位置を考えます。偏角とは、原点からzを見たときの角度です。偏角が最小となる点は、αから原点への直線と、αから円上に引いた直線が一致する点です。

直感的に言うと、zはαから原点に向かって伸びる直線上に位置し、円の上にある点で最も原点に近い位置が偏角が最小となる位置です。

ここまでの情報を基に、zの位置を求めるために直線と円の交点を求めることになります。具体的には、αから原点への直線を方程式にして、円の方程式と連立させることでzの座標を求めます。

円の方程式は、(x – 1)² + (y – √3)² = 1となり、直線の方程式はy = √3xとなります。これらを連立させることでzを求めることができます。

この問題では、複素数平面上で与えられた条件に基づき、偏角が最小となるzを求めました。zはαから原点に向かって伸びる直線上にあり、最も原点に近い点となります。計算では、円の方程式と直線の方程式を連立させることでzの座標を求めます。