y = √3sinx + cosx の最大値と最小値を求める方法

この問題は、三角関数を用いて最大値と最小値を求める方法に関する問題です。具体的には、y = √3sinx + cosx の最大値と最小値を求め、さらにその時の x と y の値をどのように求めるかに関する解法を紹介します。

問題の整理

まず、与えられた式 y = √3sinx + cosx の最大値と最小値を求めるためには、コーシーシュワルツの不等式を使う方法が有効です。この式の最大値と最小値は、-2 ≦ √3sinx + cosx ≦ 2 であり、最小値が -2、最大値が 2 であることが分かります。

コーシーシュワルツの不等式を使った解法

コーシーシュワルツの不等式を使って、√3sinx + cosx の最大値と最小値を求めるためのアプローチは、次のように進めます。コーシーシュワルツの不等式により、(a sinx + b cosx) の最大値は √(a² + b²) となります。ここで a = √3 と b = 1 なので、最大値は √(√3² + 1²) = √(3 + 1) = √4 = 2 となり、最小値は -2 です。

最大値と最小値の時の (x, y) の求め方

次に、最大値と最小値が達成される x と y の値を求めます。最大値 y = 2 になるためには、√3sinx + cosx = 2 となる x を求める必要があります。同様に、最小値 y = -2 になるためには、√3sinx + cosx = -2 となる x を求めます。

これを求めるためには、y = √3sinx + cosx が最大値または最小値を取るとき、sinx と cosx の比が一定であることを利用します。実際には、sinx と cosx の角度に対する関係を使用して、具体的な x の値を求めることができます。

まとめ

この問題では、コーシーシュワルツの不等式を使うことで、y = √3sinx + cosx の最大値と最小値を求める方法を紹介しました。また、最大値と最小値が達成される x と y の値を求めるためには、sinx と cosx の比を利用して具体的な解法を進めることが重要です。この方法を使えば、類似の三角関数の最大値最小値の問題にも応用が可能です。