放物線と直線が交わるときの距離を求める方法：aの値を求める問題

この問題では、放物線 y = x² – x + a と直線 y = 3x + 1 が交わる2点の距離を求める方法について解説します。問題文における条件から、交点の座標を求め、その間の距離を算出することで、a の値を求めることができます。

1. 方程式を解く

まず、放物線と直線が交わる点を求めるため、両方の式を連立させます。y = 3x + 1 と y = x² – x + a を連立させると、次の式が得られます。

x² – x + a = 3x + 1

これを整理すると、x² – 4x + (a – 1) = 0 という2次方程式が得られます。この方程式の解を求めることで、交点のx座標を求めることができます。

次に、x² – 4x + (a – 1) = 0 の解を求めます。解の公式を使ってxの値を求めると、交点のx座標が2つ得られます。

解の公式：x = [-(-4) ± √((-4)² – 4×1×(a-1))] / 2×1

これを計算して、2つの解を求めます。解が2つあることから、直線と放物線は異なる2点で交わることが分かります。

交点のx座標が求まったら、それを使って2点間の距離を求めます。交点のx座標をx₁, x₂ とし、そのy座標もy₁, y₂ として、距離公式を使います。

距離公式：d = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]

ここで、y₁, y₂ はそれぞれ直線の式 y = 3x + 1 に代入して求めます。x₁, x₂ の値が分かれば、距離dを計算することができます。

問題の中で、交点の距離が4√5と与えられているので、この値を距離公式に代入します。計算を進めることで、aの値が3であることがわかります。

放物線と直線が交わる2点間の距離を求める問題は、連立方程式を解き、距離公式を使うことで解決できます。今回の問題では、a = 3 という値が得られました。この方法を覚えておくと、類似の問題にも対応できるようになります。