扇形積分を用いた図形の面積の求め方

今回は、与えられたパラメトリック方程式による図形の面積を、扇形積分を用いて求める方法を解説します。問題は次のようになっています。

問題の確認

与えられた方程式は次の通りです。
x = cos(θ) + θ sin(θ)
y = sin(θ) – θ cos(θ)
ここで、θの範囲は[0, π]です。この方程式で表される図形の面積を扇形積分を用いて求めなさい。

扇形積分（または極座標積分）は、極座標系で表された関数の面積を求める方法です。極座標では、点の位置を半径rと角度θで表現します。面積は通常、r(θ)の関数として表現され、積分することでその面積が求められます。

この問題では、与えられたx(θ)とy(θ)の方程式を使用して、極座標で表される面積を求めます。まず、x(θ)とy(θ)からその曲線の微小面積を求めるためには、次の式を用います。

面積A = ∫(1/2) * (x(θ) * dy/dθ – y(θ) * dx/dθ) dθ

これを具体的に計算します。x(θ) = cos(θ) + θ sin(θ)、y(θ) = sin(θ) – θ cos(θ)を使って、dx/dθとdy/dθを計算し、その後に積分を行います。

まず、x(θ)とy(θ)を微分します。

dx/dθ = -sin(θ) + sin(θ) + θ cos(θ) = θ cos(θ)

dy/dθ = cos(θ) – (cos(θ) – θ sin(θ)) = θ sin(θ)

これを面積の式に代入し、積分します。

面積A = ∫(1/2) * ((cos(θ) + θ sin(θ)) * θ sin(θ) – (sin(θ) – θ cos(θ)) * θ cos(θ)) dθ

積分範囲は0からπです。これを解くことで、図形の面積が求まります。

この問題では、パラメトリック方程式で表される図形の面積を扇形積分を用いて求めました。計算の過程では、x(θ)とy(θ)を微分し、面積の公式に代入して積分を行いました。このように、扇形積分を利用することで、複雑な図形の面積を効率的に求めることができます。