2cos²Θ – 2cosΘ – 1 = k の実数解の個数を求める方法

「2cos²Θ – 2cosΘ – 1 = k」の方程式に対して、実数解の個数を求める問題では、三角関数を使って解くことが求められます。この記事では、この方程式の解き方をステップバイステップで解説し、kに関して実数解が何個あるかを求める方法を紹介します。

方程式の整理

まず、与えられた方程式「2cos²Θ – 2cosΘ – 1 = k」を整理しましょう。最初に、式をcosΘを使って整理すると次のようになります。

2cos²Θ – 2cosΘ – (1 + k) = 0

この式は、cosΘに関する二次方程式の形になっています。

二次方程式として解く

次に、この式を二次方程式として解きます。一般的な二次方程式は、ax² + bx + c = 0 の形をしていますが、今回の方程式はcosΘに関する二次方程式です。

したがって、この方程式を解くためには、二次方程式の解の公式を使用します。まず、a = 2, b = -2, c = -(1 + k)と置き、解の公式を適用します。

cosΘ = (-(-2) ± √((-2)² – 4(2)(-(1+k)))) / 2(2)

ここで、解の公式に従って計算を行うと、次のようになります。

cosΘ = (2 ± √(4 + 8(1 + k))) / 4

cosΘ = (2 ± √(4 + 8k + 8)) / 4

cosΘ = (2 ± √(12 + 8k)) / 4

実数解を求める条件

実数解が得られるためには、cosΘの値が-1から1の範囲内でなければならないという制約があります。このため、解が実数になるための条件を次のように求めます。

-1 ≤ (2 ± √(12 + 8k)) / 4 ≤ 1

この不等式を解くことで、kの範囲が決まります。

解の個数を求める

次に、この不等式を解くと、kの範囲が得られます。kの値がこの範囲内にあるとき、cosΘは実数解を持ちます。kの範囲を求めたら、その範囲内で解がいくつあるかを計算します。

具体的には、kに対応するcosΘの値を求め、その範囲内でcosΘが-1から1の範囲に収まるかどうかを確認します。これにより、実数解の個数が確定します。

まとめ: 実数解の個数を求めるための手順

「2cos²Θ – 2cosΘ – 1 = k」の方程式の実数解の個数を求めるためには、まず方程式を整理し、二次方程式として解きます。その後、実数解が得られる条件を確認し、kの範囲を求めることで解の個数を確定できます。kの範囲に応じて、解がいくつになるかを求めることで、実数解の個数を得ることができます。