線形代数の部分分数分解：1/φA(λ)の分解の理解と注意点

線形代数の部分分数分解の問題に関して、1/φA(λ)の分解方法を詳細に解説します。この問題で重要なのは、分解の際に出てくる分母の構造やその選択に関する理解です。質問にあるように、分母に(λ-2)が現れることについての注意点を確認していきます。

1/φA(λ)の部分分数分解

与えられた式は、1/φA(λ)=(λ-1)(λ-2)^2の形です。この式を部分分数分解するためには、分母を(λ-1)と(λ-2)^2に分解し、各項に対して定数を設定します。つまり、

1/φA(λ) = A/(λ-1) + B/(λ-2) + C/(λ-2)^2のような形に分解します。

質問にあるように、(λ-2)が分母に含まれるかどうかに関して、なぜその選択が正しいのかを解説します。実際に、分母が(λ-1)と(λ-2)^2しかなかったとしても、この分解方法で正しい理由について、個々の項を具体的に示していきます。

分母に関して、(λ-2)が一度だけ現れるケースと(λ-2)^2が現れるケースについて詳しく確認します。特に、(λ-2)^2に関しては分解後に二項の形で登場することを理解することが重要です。

実際の計算過程としては、まず分数式を一般的な形に分解し、その後各項に関して定数を求める手順になります。このとき、(λ-2)が二重根を持つため、(λ-2)^2という項が一部の項に含まれることになります。

部分分数分解を行う際の分母の選び方について、(λ-2)の項が含まれている理由を理解することは重要です。この問題のポイントは、分母の構造を適切に扱うことで、解答の過程が順調に進むことです。正しい分解を行うことで、他の複雑な問題にも対応できるようになります。