「f(x)の最小値×a＝g(x)の最小値」という関係がどのように成り立つのか、数学的にその理由を解説します。この問題では、関数のスケーリング（a倍）による最小値の変化を理解することが鍵となります。以下では、その背後にある理論と例を使って説明していきます。
関数のスケーリングと最小値の関係
まず、関数f(x)に対して、スケーリングを行う場合について考えます。関数g(x)がf(x)のスケーリングされたバージョンである場合、つまり、g(x) = a * f(x)と定義された場合、最小値の変化にどのような影響があるのかを見ていきます。
関数f(x)の最小値がMであったとき、g(x)の最小値は、スケーリング因子aによって変化します。具体的には、g(x)の最小値はa * Mになります。これは、関数f(x)をa倍にすると、その最小値もa倍されるという性質です。
最小値の計算の例
例えば、関数f(x) = x^2の最小値を考えた場合、x = 0で最小値0を取ります。このとき、g(x) = 2 * f(x) = 2 * x^2となります。g(x)の最小値は、f(x)の最小値0に2を掛けたもの、すなわちg(x)の最小値は0になります。
別の例として、g(x) = 3 * f(x)とした場合、f(x)が0で最小値を取る場合、g(x)の最小値は3 * 0であり、結果としてg(x)の最小値も0であることが確認できます。
最小値×a＝g(x)の最小値が成り立つ理由
f(x)とg(x)の関係がg(x) = a * f(x)のようなスケーリングに基づいている場合、最小値の計算が次のように成り立ちます。f(x)の最小値をMとし、g(x) = a * f(x)とした場合、g(x)の最小値はa * Mとなります。
このように、関数をスケーリングすることで、その最小値もスケールされるという数学的な原理があり、最小値×a＝g(x)の最小値という関係が自然に成り立ちます。
まとめ
「f(x)の最小値×a＝g(x)の最小値」の関係は、関数f(x)にスケーリング因子aを掛けることによって、最小値もa倍されるという特性に基づいています。この理論は、関数の変換に伴う最小値の変化を理解するために非常に重要です。スケーリングを行った際の最小値の計算方法を理解することで、数学の問題をより深く理解することができます。
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