判別式が平方数であることが解の整数である必要条件？

この記事では、判別式が平方数であることが解の整数である必要条件について解説します。数学の問題において、解が整数であるための条件を理解することは非常に重要です。

判別式とは？

判別式は、2次方程式の解の性質を判断するための式です。2次方程式 ax² + bx + c = 0 の判別式は、D = b² – 4ac で与えられます。判別式 D がどのような値になるかによって、解が実数か虚数か、さらには解が整数であるかどうかを判断できます。

解が整数であるための必要条件は、判別式 D が平方数であることです。つまり、D = b² – 4ac が完全な平方数である場合に、2次方程式の解が整数となります。

例えば、x² – 6x + 9 = 0 の場合、判別式は D = (-6)² – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0 となり、解は整数である x = 3 になります。

解の公式を用いると、2次方程式の解は次のように表されます。

x = (-b ± √D) / 2a

このとき、判別式 D が平方数であれば、√D が整数となり、解 x も整数になります。したがって、判別式 D が平方数であれば、2次方程式の解が整数であるということが確定します。

解が整数であるための条件として、判別式が平方数である必要があります。これは2次方程式を解く際に非常に重要なポイントです。問題において解の性質をしっかりと理解し、使いこなすことができるようになると、数学の問題解決において大きな助けとなります。