三角比の相互関係について解説：sin, cos, tanの値はどう決まるのか

数学

2025.10.06

三角比は、直角三角形における角度と辺の比率に基づく基本的な数学の概念です。特に、sinθ, cosθ, tanθという三角比の関係を理解することは、高校数学の基礎として非常に重要です。今回は、θが鋭角の場合におけるsin, cos, tanの値について詳しく解説します。

1. 三角比とは？

三角比は、直角三角形において、各角度に対応する辺の長さの比を使って定義される比率です。代表的な三角比は、sin, cos, tanの3つで、それぞれ次のように定義されます。

これらの三角比は、θが変わるとともに変化します。特に、鋭角（0° < θ < 90°）のときに、それぞれの値がどのように変わるのかを理解することが重要です。

鋭角θにおいて、sinθ、cosθ、tanθはすべて正の値を取ります。これは、直角三角形における角度が0°から90°の間である限り、各辺が正の長さを持つためです。

たとえば、θが鋭角であれば、sinθは常に0より大きく、最大で1になります。同様に、cosθも0より大きく、最大で1です。tanθは、sinθとcosθの比であるため、0より大きく、正の値を持ちますが、無限大に近づくこともあります（例えば、θが90°に近づくとtanθは無限大に発散します）。

質問にあったように、cosθだけが0より大きくなるのかという点についてですが、実際には、sinθやtanθも0より大きくなります。ただし、cosθが0より大きいかどうかは、θが鋭角かどうかによって変わります。

具体的に言うと、0° < θ < 90°の範囲内では、cosθは必ず0より大きくなります。しかし、θが90°に近づくと、cosθは徐々に0に近づき、最終的には0°で最大の1となります。

結論として、θが鋭角の場合、sinθ、cosθ、tanθはすべて正の値を持ちます。cosθが特に注目されがちですが、実際にはsinθやtanθも0より大きく、θが鋭角の間はそれぞれの三角比が適切に増減していきます。この理解を深めることで、三角比を使った問題解決がスムーズに行えるようになります。