与えられたベクトル解析の式における各成分を展開し、計算の過程を詳しく解説します。特に、ベクトル場における微分演算やベクトル積、スカラー積の計算方法を中心に、具体的な展開とその意味を説明していきます。
問題の式の展開
式は以下の通りです。
(v•∇)u +(u•∇)v+u×rotv+v×rotu
まず、この式を成分ごとに展開していきます。ベクトルの成分はi、j、kの方向に分解され、それぞれの成分に関する計算を行います。
式の展開方法
ここでは、特にi方向に関する展開を行います。
(v•∇)u +(u•∇)v+u×rotv+v×rotu = (vx∂ux/∂x + ux∂vx/∂x + vy∂uy/∂x + uy∂vy/∂x + vz∂uz/∂x + uz∂vz/∂x)i + ...
i成分の確認
i成分に関して、式の中に登場する項がすべて正しく展開されているかを確認します。
この式の中でi成分を取り出すと、まず最初の項がvx∂ux/∂x + ux∂vx/∂xの部分です。この項がi方向の成分に関連しており、その後に続く項がvy∂uy/∂x + uy∂vy/∂x、さらにvz∂uz/∂x + uz∂vz/∂xです。
j成分、k成分の展開
次に、j方向とk方向の成分についても同様に展開を行い、結果として得られる式が正しいかどうかを確認します。これにより、全体のベクトル演算が整合しているかをチェックします。
まとめ
ベクトルの微分やベクトル積、スカラー積を組み合わせた計算は、複雑に見えますが、一つ一つの成分に注目して展開することで理解が深まります。特に、i、j、k成分の展開が正しいかどうかを確認することが重要です。
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